a का वह अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रेखा | vedclass

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Question

(B) दोनों रेखाएँ बिंदु $P(1, 1, 0)$ से होकर गुजरती हैं। रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{v}_1 = \hat{i} + a\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{v}_2 = -\hat{i} + \hat

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$2$

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(B) दोनों रेखाएँ बिंदु $P(1, 1, 0)$ से होकर गुजरती हैं। रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{v}_1 = \hat{i} + a\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{v}_2 = -\hat{i} + \hat{j} - a\hat{k}$ हैं।इन रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{v}_1 	imes \vec{v}_2$ द्वारा दिया जाता है:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & a & -1 \ -1 & 1 & -a \end{vmatrix} = (1-a^2)\hat{i} + (a+1)\hat{j} + (1+a)\hat{k}$.$(1+a)$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n}' = (1-a)\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है।बिंदु $(1, 1, 0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n}'$ वाले समतल का समीकरण:$(1-a)(x-1) + 1(y-1) + 1(z-0) = 0 \implies (1-a)x + y + z + a - 2 = 0$.बिंदु $(2, 1, 4)$ से समतल की लंबवत दूरी $\sqrt{3}$ दी गई है:$\frac{|(1-a)(2) + 1 + 4 + a - 2|}{\sqrt{(1-a)^2 + 1^2 + 1^2}} = \sqrt{3}$.$\frac{|5 - a|}{\sqrt{a^2 - 2a + 3}} = \sqrt{3}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(5-a)^2 = 3(a^2 - 2a + 3)$.$25 - 10a + a^2 = 3a^2 - 6a + 9$.$2a^2 + 4a - 16 = 0 \implies a^2 + 2a - 8 = 0$.$(a+4)(a-2) = 0$,अतः $a = 2$ या $a = -4$.$a$ का अधिकतम मान $2$ है।

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मान लीजिए कि बिंदु $P(2, -1, 3)$ का समतल $x + 2y - z = 0$ में प्रतिबिंब $Q$ है। तो बिंदु $Q$ से समतल $3x + 2y + z + 29 = 0$ की दूरी $.........$ है।

रेखा $x = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ और समतल $x + 2y + 3z = 6$ के बीच का कोण $\cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

समतल का सदिश समीकरण जो रेखाओं $r = (i + j) + \lambda (i + 2j - k)$ और $r = (i + j) + \mu (-i + j - 2k)$ को समाहित करता है,है

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