एक रेखा जिसके दिक्कोसाइन समान हैं,बिंदु $P(2, -1, 2)$ से गुजरती है और निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है। यह रेखा समतल $2x + y + z = 9$ को बिंदु $Q$ पर मिलती है। रेखाखंड $PQ$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक इकाई सदिश $\hat{OP}$ निर्देशांक अक्षों $OX, OY, OZ$ की धनात्मक दिशाओं के साथ क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाता है,जहाँ $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$ है। यदि $\hat{OP}$ बिंदुओं $(1, 2, 3)$,$(2, 3, 4)$ और $(1, 5, 7)$ से गुजरने वाले समतल के लंबवत है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$1, -1, 2$ दिक-अनुपात वाली एक रेखा, रेखाओं $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+1}{3}$ और $\frac{x+1}{-1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{4}$ को क्रमशः $P$ और $Q$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। यदि रेखाखंड $PQ$ की लंबाई $\alpha$ है, तो $225\alpha^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

बिंदु $(7, 14, 5)$ से समतल $2x + 4y - z = 2$ पर डाले गए लंब की लंबाई और लंबपाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $d$ समतल $-x + y + z = 1$ पर बिंदुओं $P(1, 2, -1)$ और $Q(2, -1, 3)$ के लंबपादों के बीच की दूरी है। तो $d^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $x = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ और समतल $x + 2y + 3z = 4$ के बीच का कोण $\cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।