वृत्तों $x^2+y^2-2x+4y+4=0$ और $x^2+y^2+4x-2y+1=0$ की अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई है

नीचे दिए गए दो वृत्तों के समीकरणों के बारे में सही कथन चुनें:
$x^{2}+y^{2}-10x-10y+41=0$
$x^{2}+y^{2}-22x-10y+137=0$

यदि बिंदु $\left( -\sqrt{8}, \sqrt{8} \right)$ से गुजरने वाली और $x$-अक्ष के साथ $135^{\circ}$ का कोण बनाने वाली रेखा,वृत्त $x = 5 \cos \theta, y = 5 \sin \theta$ को बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है,तो जीवा $AB$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

त्रिभुज $PQR$ के शीर्ष $P$ से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा भुजा $QR$ को बिंदु $S$ पर और त्रिभुज $PQR$ के परिवृत्त को बिंदु $T$ पर काटती है। यदि $S$ परिवृत्त का केंद्र नहीं है,तो:
$(A) \frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}<\frac{2}{\sqrt{QS \times SR}}$
$(B) \frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}>\frac{2}{\sqrt{QS \times SR}}$
$(C) \frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}<\frac{4}{QR}$
$(D) \frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}>\frac{4}{QR}$

$25$ इकाई त्रिज्या वाले एक वृत्त के व्यास $AC$ का ढाल $\frac{3}{4}$ है। यदि $(3, 2)$ वृत्त का केंद्र है,$A = (x_1, y_1)$ और $C = (x_2, y_2)$ है,तो $\frac{x_1 x_2}{y_1 y_2} = $

कथन $1$: $\sqrt{10}$ त्रिज्या वाला और रेखा $2x + y = 5$ पर व्यास वाला एकमात्र वृत्त $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$ है।
कथन $2$: $2x + y = 5$ वृत्त $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$ का अभिलंब है।