एक वृत्त की दो समांतर जीवाओं की लंबाई $6\, cm$ और $8\, cm$ है। यदि छोटी जीवा केंद्र से $4\, cm$ की दूरी पर है,तो दूसरी जीवा की केंद्र से दूरी क्या है ($, cm$ में)?

एक त्रिभुज $ABC$ के कोणों $A, B$ और $C$ के समद्विभाजक इसके परिवृत्त को क्रमशः $D, E$ और $F$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज $DEF$ के कोण $90^{\circ} - \frac{1}{2}A, 90^{\circ} - \frac{1}{2}B$ और $90^{\circ} - \frac{1}{2}C$ हैं।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
$(i)$ केंद्र को वृत्त पर किसी भी बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या होती है।
$(ii)$ एक वृत्त में केवल सीमित संख्या में ही समान जीवाएँ हो सकती हैं।
$(iii)$ यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में विभाजित किया जाए,तो प्रत्येक एक दीर्घ चाप है।
$(iv)$ वृत्त की एक जीवा,जिसकी लंबाई उसकी त्रिज्या से दोगुनी है,वृत्त का व्यास है।
$(v)$ त्रिज्यखंड,जीवा और उसके संगत चाप के बीच का क्षेत्र है।
$(vi)$ वृत्त एक समतल आकृति है।

यदि एक रेखा दो संकेंद्रीय वृत्तों (एक ही केंद्र वाले वृत्त) को,जिनका केंद्र $O$ है,$A, B, C$ और $D$ पर प्रतिच्छेद करती है,तो सिद्ध कीजिए कि $AB = CD$ है।

आकृति में,$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें $AC$ और $BD$ इसके विकर्ण हैं। यदि $\angle DBC = 55^{\circ}$ और $\angle BAC = 45^{\circ}$ है,तो $\angle BCD$ ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)

दो वृत्त दो बिंदुओं $B$ और $C$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $B$ से होकर दो रेखाखंड $ABD$ और $PBQ$ खींचे गए हैं जो वृत्तों को क्रमशः $A, D$ और $P, Q$ पर प्रतिच्छेद करते हैं (आकृति देखें)। सिद्ध कीजिए कि $\angle ACP = \angle QCD$ है।