समतलों $\overline{r} \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=1$ और $\overline{r} \cdot(\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})=2$ की प्रतिच्छेदन रेखा निम्नलिखित में से किस सदिश के समांतर है?

दो समतलों $\vec{r} \cdot \vec{m}_1=q_1$ और $\vec{r} \cdot \vec{m}_2=q_2$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot (\vec{m}_1+\lambda \vec{m}_2)=q_1+\lambda q_2$ है,जहाँ $\lambda \in R$ है। बिंदु $2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ और समतलों $\vec{r} \cdot (\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})=5$ तथा $\vec{r} \cdot (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})=7$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

धनात्मक दिक्-कोसाइन वाली एक रेखा बिंदु $P(2, -1, 2)$ से होकर गुजरती है और निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है। यदि यह रेखा समतल $2x + y + z = 9$ को बिंदु $Q$ पर मिलती है,तो लंबाई $PQ$ ज्ञात कीजिए।

वह बिंदु जहाँ रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{4}$ समतल $2x+4y-z=1$ से मिलती है,है:

यदि बिंदुओं $\hat{i}+\hat{j}$ और $3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ को मिलाने वाली रेखा,उस समतल को जो बिंदु $2 \hat{i}+4 \hat{j}$ से गुजरता है और सदिशों $3 \hat{j}+5 \hat{k}$ तथा $3 \hat{i}-\hat{k}$ के समांतर है,बिंदु $P$ पर मिलती है,तो बिंदु $P$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

एक बिंदु $P(\lambda, \lambda, \lambda)$ से,रेखाओं $y=x, z=1$ और $y=-x, z=-1$ पर क्रमशः लंब $PQ$ और $PR$ खींचे गए हैं। यदि $P$ इस प्रकार है कि $\angle QPR$ एक समकोण है,तो $\lambda$ का संभावित मान (मानों) है