वृत्त $x^2+y^2=16$ की उन जीवाओं के मध्य-बिंदुओं का बिंदुपथ,जो अतिपरवलय $9x^2-16y^2=144$ की स्पर्श रेखाएँ हैं,है

एक वृत्त के त्रिज्यखंड के आकार के कागज के टुकड़े (देखें $Fig. 1$) को मोड़कर एक लंबवृत्तीय शंकु (देखें $Fig. 2$) बनाया जाता है। कोण $\theta$ का मान है

यदि $P$ एक ऐसा बिंदु है कि $P$ से वृत्तों $x^2+y^2+2x-4y-20=0$ और $x^2+y^2-4x+2y-44=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई के वर्गों का अनुपात $2:3$ है,तो $P$ का बिंदुपथ एक वृत्त है जिसका केंद्र है :

यदि $A(1,1)$ से गुजरने वाला एक वृत्त $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,तो $A$ से गुजरने वाले व्यास के दूसरे सिरे का बिंदु पथ क्या है?

$XY$-समतल में $(2,0)$ पर स्थित एक कंपनी डिलीवरी के लिए प्रति $km$ $RS. 2$ शुल्क लेती है। $(0,3)$ पर स्थित दूसरी कंपनी डिलीवरी के लिए प्रति $km$ $RS. 3$ शुल्क लेती है। समतल का वह क्षेत्र जहाँ पहली कंपनी का उपयोग करना सस्ता है,वह है

$t \in (0, 2\pi)$ के लिए,यदि $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसके शीर्ष $A(\sin t, -\cos t)$,$B(\cos t, \sin t)$ और $C(a, b)$ हैं,और इसका लंबकेंद्र $(1, 1/3)$ केंद्र वाले वृत्त पर स्थित है,तो $(a^2 - b^2)$ का मान ज्ञात कीजिए।