यदि $P$ एक ऐसा बिंदु है कि $P$ से वृत्तों $x^2+y^2+2x-4y-20=0$ और $x^2+y^2-4x+2y-44=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई के वर्गों का अनुपात $2:3$ है,तो $P$ का बिंदुपथ एक वृत्त है जिसका केंद्र है :

मान लीजिए $A$ बिंदु $(1, 2)$ है और $B$ वक्र $x^2 + y^2 = 16$ पर कोई बिंदु है। यदि बिंदु $P$ के बिंदुपथ का केंद्र,जो रेखाखंड $AB$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,बिंदु $C(\alpha, \beta)$ है,तो रेखाखंड $AC$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$, $x$-अक्ष को बिंदुओं $A(a,0), a>0$ और $B(b,0)$ पर प्रतिच्छेद करता है। मान लीजिए $P(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ और $Q(2 \cos \beta, 2 \sin \beta)$ दो ऐसे बिंदु हैं कि $(\alpha - \beta) = \frac{\pi}{2}$ है। तो $AQ$ और $BP$ का प्रतिच्छेदन बिंदु किस पर स्थित है:

एक वृत्त $x$-अक्ष पर $4a$ लंबाई की जीवा काटता है और $y$-अक्ष पर मूल बिंदु से $2b$ की दूरी पर स्थित एक बिंदु से होकर गुजरता है। तो इस वृत्त के केंद्र का बिंदु पथ है

वृत्त $x = a \cos \theta, y = a \sin \theta$ पर उन बिंदुओं पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ क्या है,जिनके प्राचलिक कोण $\pi / 2$ से भिन्न हैं?

एक बिंदु का बिंदुपथ जो इस प्रकार गति करता है कि $(0,0)$ से उसकी दूरी $x$-अक्ष से उसकी दूरी की तीन गुनी है,वह है: