अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ की अभिलंब जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ है

रेखा $y=x$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{25}=1$ को बिंदुओं $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करती है। उस दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता क्या होगी जिसका $PQ$ दीर्घ अक्ष है और लघु अक्ष की लंबाई $\frac{5}{\sqrt{2}}$ है?

मान लीजिए $O$ मूलबिंदु है, और $P$ तथा $Q$ आयताकार अतिपरवलय $xy = 12$ पर दो बिंदु इस प्रकार हैं कि रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ है। तो त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल क्या होगा?

यदि अतिपरवलय $x^2 - y^2 \sec^2 \alpha = 5$ की उत्केंद्रता,दीर्घवृत्त $x^2 \sec^2 \alpha + y^2 = 25$ की उत्केंद्रता की $\sqrt{3}$ गुनी है,तो $\alpha$ का मान है:

मान लीजिए कि $R$ एक आयत है जो रेखाओं $x=0, x=2, y=0$ और $y=5$ द्वारा दिया गया है। मान लीजिए $A(\alpha, 0)$ और $B(0, \beta)$,जहाँ $\alpha \in [0, 2]$ और $\beta \in [0, 5]$,इस प्रकार हैं कि रेखाखंड $AB$ आयत $R$ के क्षेत्रफल को $4:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। तो,$AB$ का मध्य-बिंदु $.........$ पर स्थित है।

दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए: शीर्ष $(0, \pm 3)$,नाभियाँ $(0, \pm 5)$।