R त्रिज्या वाले एक ग्रह का द्रव्यमान घनत्व उस | vedclass

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Question

(B) ग्रह के अंदर $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E$ को गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस के नियम द्वारा दिया जाता है: $E(4\pi r^{2}) = 4\pi G M(r)$,जहाँ $M(

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$r = \sqrt{\frac{5}{9}} R$

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(B) ग्रह के अंदर $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E$ को गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस के नियम द्वारा दिया जाता है: $E(4\pi r^{2}) = 4\pi G M(r)$,जहाँ $M(r)$ त्रिज्या $r$ के भीतर निहित द्रव्यमान है।$M(r) = \int_{0}^{r} \rho(r) 4\pi r^{2} dr = 4\pi \rho_{0} \int_{0}^{r} \left(1 - \frac{r^{2}}{R^{2}}\right) r^{2} dr$.$M(r) = 4\pi \rho_{0} \left[ \frac{r^{3}}{3} - \frac{r^{5}}{5R^{2}} \right]$.अतः,$E = \frac{G M(r)}{r^{2}} = 4\pi G \rho_{0} \left( \frac{r}{3} - \frac{r^{3}}{5R^{2}} \right)$.अधिकतम क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,$\frac{dE}{dr} = 0$ रखें:$\frac{dE}{dr} = 4\pi G \rho_{0} \left( \frac{1}{3} - \frac{3r^{2}}{5R^{2}} \right) = 0$.$\frac{1}{3} = \frac{3r^{2}}{5R^{2}} \Rightarrow r^{2} = \frac{5R^{2}}{9} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{5}{9}} R$.

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