एक आयत का अधिकतम क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) | vedclass

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Question

(C) माना परवलय पर आयत के शीर्ष $(\alpha, 12 - \alpha^2)$ और $(-\alpha, 12 - \alpha^2)$ हैं,जहाँ $\alpha > 0$ है।आयत का आधार $x-$अक्ष पर स्थित है,इसलिए

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$32$

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(C) माना परवलय पर आयत के शीर्ष $(\alpha, 12 - \alpha^2)$ और $(-\alpha, 12 - \alpha^2)$ हैं,जहाँ $\alpha > 0$ है।आयत का आधार $x-$अक्ष पर स्थित है,इसलिए आधार की लंबाई $2\alpha$ और ऊँचाई $12 - \alpha^2$ है।आयत का क्षेत्रफल $A = 	ext{लंबाई} 	imes 	ext{ऊँचाई} = 2\alpha(12 - \alpha^2) = 24\alpha - 2\alpha^3$ द्वारा दिया गया है।अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$\frac{dA}{d\alpha} = 24 - 6\alpha^2$।$\frac{dA}{d\alpha} = 0$ रखने पर,हमें $24 - 6\alpha^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha^2 = 4$,इसलिए $\alpha = 2$ (चूँकि $\alpha > 0$)।यह सत्यापित करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2A}{d\alpha^2} = -12\alpha$। $\alpha = 2$ पर,$\frac{d^2A}{d\alpha^2} = -24 अधिकतम क्षेत्रफल $A = 2(2)(12 - 2^2) = 4(12 - 4) = 4(8) = 32$ वर्ग इकाइयाँ है।

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