$3x+4y \geqslant 12$,$x+y \leqslant 5$,$x, y \geqslant 0$ अवरोधों के अंतर्गत $z=4x+2y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

$z = 70x + 50y$ को अधिकतम करने के लिए $L$.$P$.$P$. (रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या) का सुसंगत क्षेत्र (feasible region),जो प्रतिबंधों $8x + 5y \leq 60$,$4x + 5y \leq 40$ और $x \geq 0, y \geq 0$ के अधीन है,क्या है?

असमिकाओं $x+y \leq 3$,$2x+5y \geq 10$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु सुसंगत क्षेत्र (feasible region) में स्थित है?

एक बीमार व्यक्ति के आहार में कम से कम $4000$ इकाई विटामिन,$50$ इकाई प्रोटीन और $1400$ कैलोरी होनी चाहिए। दो खाद्य पदार्थ $A$ और $B$ क्रमशः ₹ $4$ और ₹ $3$ प्रति इकाई की लागत पर उपलब्ध हैं। यदि $A$ की एक इकाई में $200$ इकाई विटामिन,$1$ इकाई प्रोटीन और $40$ कैलोरी होती है,जबकि खाद्य $B$ की एक इकाई में $100$ इकाई विटामिन,$2$ इकाई प्रोटीन और $40$ कैलोरी होती है,तो समस्या को इस प्रकार तैयार करें कि आहार सबसे सस्ता हो।

एक निर्माता दो प्रकार के खिलौने $A$ और $B$ बनाता है। इस उद्देश्य के लिए तीन मशीनों की आवश्यकता होती है और प्रत्येक खिलौने के लिए मशीनों पर आवश्यक समय (मिनटों में) नीचे दिया गया है:

खिलौनों के प्रकार	मशीन-$I$	मशीन-$II$	मशीन-$III$
$A$	$12$	$18$	$6$
$B$	$6$	$0$	$9$

प्रत्येक मशीन प्रतिदिन अधिकतम $6 \, \text{घंटे}$ $(360 \, \text{मिनट})$ के लिए उपलब्ध है। यदि प्रकार $A$ के प्रत्येक खिलौने पर लाभ $Rs. \, 7.50$ है और प्रकार $B$ के प्रत्येक खिलौने पर लाभ $Rs. \, 5$ है,तो अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए प्रतिदिन प्रत्येक प्रकार के कितने खिलौने बनाए जाने चाहिए,यह ज्ञात कीजिए।

अधिकतम किया जाने वाला फलन $Z=3x+2y$ द्वारा दिया गया है। इस फलन के लिए सुसंगत क्षेत्र (feasible region) नीचे दी गई आकृति में छायांकित क्षेत्र है,तो इस क्षेत्र के लिए रैखिक बाधाएं (linear constraints) क्या हैं?