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Question

(D) माना $f(\alpha) = \left(1 + \frac{1}{\sin^n \alpha}\right) \left(1 + \frac{1}{\cos^n \alpha}\right)$ है।$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,धनात्मक पदों के

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$\left(1+2^{n / 2}\right)^2$

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(D) माना $f(\alpha) = \left(1 + \frac{1}{\sin^n \alpha}\right) \left(1 + \frac{1}{\cos^n \alpha}\right)$ है।$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,धनात्मक पदों के लिए,न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $\sin^n \alpha = \cos^n \alpha$ हो,जिसका अर्थ है $\sin \alpha = \cos \alpha$,अर्थात $\alpha = \frac{\pi}{4}$।$\alpha = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sin \alpha = \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-1/2}$ होता है।अतः $\sin^n \alpha = \cos^n \alpha = (2^{-1/2})^n = 2^{-n/2}$ होगा।इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(1 + \frac{1}{2^{-n/2}}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{-n/2}}\right) = (1 + 2^{n/2})(1 + 2^{n/2}) = (1 + 2^{n/2})^2$।अतः,न्यूनतम मान $(1 + 2^{n/2})^2$ है।

$\left(1+\frac{1}{\sin ^n \alpha}\right)\left(1+\frac{1}{\cos ^n \alpha}\right)$ का न्यूनतम मान क्या है?

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