अंतराल 0 le x le pi में फलन f(x) = 2cos 2x - | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = 2\cos 2x - \cos 4x$ है। सर्वसमिका $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$ का उपयोग करते हुए,हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं: $f(x) = 2\cos 2x - (

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$-3$

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(D) माना $f(x) = 2\cos 2x - \cos 4x$ है। सर्वसमिका $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$ का उपयोग करते हुए,हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं: $f(x) = 2\cos 2x - (2\cos^2 2x - 1) = -2\cos^2 2x + 2\cos 2x + 1$। माना $t = \cos 2x$ है। चूँकि $0 \le x \le \pi$,इसलिए $2x$ का परिसर $0 \le 2x \le 2\pi$ है,अतः $t = \cos 2x$ का परिसर $[-1, 1]$ है। अब,हमारे पास $t \in [-1, 1]$ के लिए द्विघात फलन $g(t) = -2t^2 + 2t + 1$ है। न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अंतराल $[-1, 1]$ के अंत बिंदुओं की जाँच करते हैं क्योंकि परवलय नीचे की ओर खुलता है। $t = 1$ के लिए: $g(1) = -2(1)^2 + 2(1) + 1 = -2 + 2 + 1 = 1$। $t = -1$ के लिए: $g(-1) = -2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -2 - 2 + 1 = -3$। इन मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $-3$ प्राप्त होता है।

अंतराल $0 \le x \le \pi$ में फलन $f(x) = 2\cos 2x - \cos 4x$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

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