Class 11PhysicsOscillationsPeriodic, Oscillatory motion and its characteristics and types of SHM and Equation of SHM
Difficultસરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની ગતિ સ્થાનાંતર વિધેય $x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. જો કણનું પ્રારંભિક $(t = 0)$ સ્થાન $1 \; cm$ હોય અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $\omega \; cm/s$ હોય,તો તેનો કંપવિસ્તાર અને પ્રારંભિક કળા કોણ કેટલા હશે? કણની કોણીય આવૃત્તિ $\pi \; s^{-1}$ છે. જો કોસાઇન વિધેયને બદલે,આપણે $SHM$ નું વર્ણન કરવા માટે સાઇન વિધેય પસંદ કરીએ: $x = B \sin (\omega t + \alpha)$,તો ઉપરની પ્રારંભિક શરતો સાથે કણનો કંપવિસ્તાર અને પ્રારંભિક કળા શું હશે?
(A) શરૂઆતમાં,$t = 0$ સમયે:
સ્થાનાંતર,$x = 1 \; cm$
પ્રારંભિક વેગ,$v = \omega \; cm/s$
કોણીય આવૃત્તિ,$\omega = \pi \; rad/s$
$x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$ માટે:
$1 = A \cos (\omega \times 0 + \phi) = A \cos \phi \implies A \cos \phi = 1 \dots (i)$
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin (\omega t + \phi)$
$\omega = -A \omega \sin (\phi) \implies A \sin \phi = -1 \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$A^2 (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = 1^2 + (-1)^2 = 2$
$A = \sqrt{2} \; cm$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\tan \phi = -1 \implies \phi = \frac{3\pi}{4} \; rad$
$x = B \sin (\omega t + \alpha)$ માટે:
$1 = B \sin (\alpha) \implies B \sin \alpha = 1 \dots (iii)$
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = B \omega \cos (\omega t + \alpha)$
$\omega = B \omega \cos (\alpha) \implies B \cos \alpha = 1 \dots (iv)$
$(iii)$ અને $(iv)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$B^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = 1^2 + 1^2 = 2$
$B = \sqrt{2} \; cm$
$(iii)$ ને $(iv)$ વડે ભાગતા:
$\tan \alpha = 1 \implies \alpha = \frac{\pi}{4} \; rad$
સ્થાનાંતર,$x = 1 \; cm$
પ્રારંભિક વેગ,$v = \omega \; cm/s$
કોણીય આવૃત્તિ,$\omega = \pi \; rad/s$
$x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$ માટે:
$1 = A \cos (\omega \times 0 + \phi) = A \cos \phi \implies A \cos \phi = 1 \dots (i)$
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin (\omega t + \phi)$
$\omega = -A \omega \sin (\phi) \implies A \sin \phi = -1 \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$A^2 (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = 1^2 + (-1)^2 = 2$
$A = \sqrt{2} \; cm$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\tan \phi = -1 \implies \phi = \frac{3\pi}{4} \; rad$
$x = B \sin (\omega t + \alpha)$ માટે:
$1 = B \sin (\alpha) \implies B \sin \alpha = 1 \dots (iii)$
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = B \omega \cos (\omega t + \alpha)$
$\omega = B \omega \cos (\alpha) \implies B \cos \alpha = 1 \dots (iv)$
$(iii)$ અને $(iv)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$B^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = 1^2 + 1^2 = 2$
$B = \sqrt{2} \; cm$
$(iii)$ ને $(iv)$ વડે ભાગતા:
$\tan \alpha = 1 \implies \alpha = \frac{\pi}{4} \; rad$
Explore More
Similar Questions
વિધેય $(\sin \omega t - \cos \omega t)$ શું દર્શાવે છે?
Medium
View Solutionનીચેનામાંથી કયું સમીકરણ સુરેખ પથ પર થતી સરળ આવર્ત ગતિ (Simple Harmonic Motion) દર્શાવે છે,જ્યાં $x$ એ સ્થાનાંતર છે અને $a, b, c$ એ ધન અચળાંકો છે?
સમયના વિધેય તરીકે $SHM$ ના સ્થાનાંતરનો આલેખ દોરો.
Medium
View Solutionજ્યારે $m$ દળનો કણ $x$-અક્ષ પર $V(x)=kx^2$ સ્વરૂપના પોટેન્શિયલમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. તેનો સમયગાળો $\sqrt{\frac{m}{k}}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે,જે પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી જોઈ શકાય છે. જો કે,કણની ગતિ ત્યારે પણ આવર્ત હોઈ શકે છે જ્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા $x=0$ ની બંને બાજુએ $kx^2$ કરતા અલગ રીતે વધે અને તેની કુલ ઊર્જા એવી હોય કે કણ અનંત સુધી પલાયન ન કરે. $m$ દળના કણનો વિચાર કરો જે $x$-અક્ષ પર ગતિ કરે છે. તેની સ્થિતિ ઊર્જા ઉદગમ સ્થાનની નજીક $|x|$ માટે $V(x)=\alpha x^4$ $(\alpha>0)$ છે અને $|x| \geq X_0$ માટે $V_0$ જેટલી અચળ બને છે (આકૃતિ જુઓ).
$1.$ જો કણની કુલ ઊર્જા $E$ હોય,તો તે આવર્ત ગતિ ત્યારે જ કરશે જો
$(A)$ $E < 0$
$(B)$ $E > 0$
$(C)$ $V_0 > E > 0$
$(D)$ $E > V_0$
$2.$ નાના કંપવિસ્તાર $A$ ની આવર્ત ગતિ માટે,આ કણનો સમયગાળો $T$ કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A)$ $A \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(B)$ $\frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(C)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$(D)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$3.$ $|x|>X_0$ માટે આ કણનો પ્રવેગ કેટલો છે?
$(A)$ $V_0$ ના પ્રમાણમાં
$(B)$ $\frac{V_0}{mX_0}$ ના પ્રમાણમાં
$(C)$ $\sqrt{\frac{V_0}{mX_0}}$ ના પ્રમાણમાં
$(D)$ શૂન્ય
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
$1.$ જો કણની કુલ ઊર્જા $E$ હોય,તો તે આવર્ત ગતિ ત્યારે જ કરશે જો
$(A)$ $E < 0$
$(B)$ $E > 0$
$(C)$ $V_0 > E > 0$
$(D)$ $E > V_0$
$2.$ નાના કંપવિસ્તાર $A$ ની આવર્ત ગતિ માટે,આ કણનો સમયગાળો $T$ કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A)$ $A \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(B)$ $\frac{1}{A} \sqrt{\frac{m}{\alpha}}$
$(C)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$(D)$ $A \sqrt{\frac{\alpha}{m}}$
$3.$ $|x|>X_0$ માટે આ કણનો પ્રવેગ કેટલો છે?
$(A)$ $V_0$ ના પ્રમાણમાં
$(B)$ $\frac{V_0}{mX_0}$ ના પ્રમાણમાં
$(C)$ $\sqrt{\frac{V_0}{mX_0}}$ ના પ્રમાણમાં
$(D)$ શૂન્ય
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
નીચેનામાંથી કઈ ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ (Simple Harmonic Motion) છે?
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo