दीर्घवृत्त x^2+4y^2=16 पर एक बिंदु P पर अभिलं | vedclass

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Question

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 4$ है।माना $P = (4 \cos 	heta, 2 \sin 	heta)$ दीर्घवृत्त

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$\left( \pm 2 \sqrt{3}, \pm \frac{1}{7}\right)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 4$ है।माना $P = (4 \cos 	heta, 2 \sin 	heta)$ दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है।$P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\cos 	heta} - \frac{by}{\sin 	heta} = a^2 - b^2$ है।$a=4, b=2$ रखने पर: $\frac{4x}{\cos 	heta} - \frac{2y}{\sin 	heta} = 12$,जो सरल होकर $\frac{x}{\cos 	heta} - \frac{y}{2 \sin 	heta} = 3$ हो जाता है।यह अभिलंब $x$-अक्ष $(y=0)$ से $Q(3 \cos 	heta, 0)$ पर मिलता है।माना $M(x, y)$,$PQ$ का मध्य बिंदु है। तब $x = \frac{4 \cos 	heta + 3 \cos 	heta}{2} = \frac{7}{2} \cos 	heta$ और $y = \frac{2 \sin 	heta + 0}{2} = \sin 	heta$ है।अतः,$\cos 	heta = \frac{2x}{7}$ और $\sin 	heta = y$ है। $\cos^2 	heta + \sin^2 	heta = 1$ का उपयोग करने पर,$M$ का बिंदुपथ $\frac{4x^2}{49} + y^2 = 1$ प्राप्त होता है।मूल दीर्घवृत्त का नाभिलंब $x = \pm ae = \pm \sqrt{a^2 - b^2} = \pm \sqrt{16 - 4} = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$ है।बिंदुपथ के समीकरण में $x^2 = 12$ रखने पर: $\frac{4(12)}{49} + y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = 1 - \frac{48}{49} = \frac{1}{49}$।अतः,$y = \pm \frac{1}{7}$ है। बिंदु $\left( \pm 2 \sqrt{3}, \pm \frac{1}{7} ight)$ हैं।

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यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नाभिलंब के एक सिरे पर खींचा गया अभिलंब लघु अक्ष के एक सिरे से होकर गुजरता है,तो:

दीर्घवृत्त $3x^2 + 4y^2 = 48$ की नाभियों के बीच की दूरी है

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