वक्र x = a(cos theta + theta sin theta ) और y | vedclass

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Question

(C) दिया गया वक्र: $x = a(\cos 	heta + 	heta \sin 	heta )$ और $y = a(\sin 	heta - 	heta \cos 	heta )$.सबसे पहले,हम $	heta$ के सापेक्ष अवकलन करत

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यह मूल बिंदु से एक स्थिर दूरी पर है

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(C) दिया गया वक्र: $x = a(\cos 	heta + 	heta \sin 	heta )$ और $y = a(\sin 	heta - 	heta \cos 	heta )$.सबसे पहले,हम $	heta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$\frac{dy}{d	heta} = a(\cos 	heta - (\cos 	heta - 	heta \sin 	heta)) = a	heta \sin 	heta$.$\frac{dx}{d	heta} = a(-\sin 	heta + (\sin 	heta + 	heta \cos 	heta)) = a	heta \cos 	heta$.इसलिए,स्पर्शरेखा (tangent) की ढाल:$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d	heta}{dx/d	heta} = \frac{a	heta \sin 	heta}{a	heta \cos 	heta} = 	an 	heta$.अभिलंब की ढाल स्पर्शरेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम है:$m_n = -\frac{1}{	an 	heta} = -\cot 	heta = -\frac{\cos 	heta}{\sin 	heta}$.$	heta$ बिंदु पर अभिलंब का समीकरण:$y - a(\sin 	heta - 	heta \cos 	heta) = -\frac{\cos 	heta}{\sin 	heta} (x - a(\cos 	heta + 	heta \sin 	heta))$.$\sin 	heta$ से गुणा करने पर:$y \sin 	heta - a \sin^2 	heta + a 	heta \sin 	heta \cos 	heta = -x \cos 	heta + a \cos^2 	heta + a 	heta \sin 	heta \cos 	heta$.समीकरण को सरल करने पर:$x \cos 	heta + y \sin 	heta = a(\sin^2 	heta + \cos^2 	heta) = a$.मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $x \cos 	heta + y \sin 	heta - a = 0$ की लंबवत दूरी:$d = \frac{|-a|}{\sqrt{\cos^2 	heta + \sin^2 	heta}} = |a| = a$.चूंकि $a$ एक स्थिरांक है,इसलिए अभिलंब मूल बिंदु से एक स्थिर दूरी पर है।

वक्र $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta )$ और $y = a(\sin \theta - \theta \cos \theta )$ के किसी भी $\theta$ पर अभिलंब (normal) इस प्रकार है कि:

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यदि वक्र $y=4x^4+x$ पर एक बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा,उसी वक्र पर $(0,0)$ पर स्पर्श रेखा के लंबवत है,तो बिंदु $P$ है

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