$3$-$digit$ ની એવી કેટલી એકી સંખ્યાઓ છે,જેના અંકોનો સરવાળો $7$ નો ગુણક હોય?

પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$(n!)^2 > n^n$ સાચું છે જો:

જ્યારે $1! + 2! + 3! + \ldots + 11!$ ને $12$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?

$ENDEANOEL$ શબ્દના અક્ષરોના તમામ શક્ય ક્રમચયો ધ્યાનમાં લો. $Column I$ માં આપેલા વિધાનો/પદાવલિઓને $Column II$ સાથે જોડો.

$Column I$	$Column II$
$(A)$ $ENDEA$ શબ્દ ધરાવતા ક્રમચયોની સંખ્યા	$(p)$ $5!$
$(B)$ જે ક્રમચયોમાં $E$ પ્રથમ અને છેલ્લા સ્થાને આવે છે તેની સંખ્યા	$(q)$ $2 \times 5!$
$(C)$ જે ક્રમચયોમાં છેલ્લા પાંચ સ્થાનોમાં $D, L, N$ માંથી કોઈ પણ અક્ષર આવતો નથી તેની સંખ્યા	$(r)$ $7 \times 5!$
$(D)$ જે ક્રમચયોમાં $A, E, O$ માત્ર એકી સ્થાનો પર આવે છે તેની સંખ્યા	$(s)$ $21 \times 5!$

$A, B, C, D, E$ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને પાંચ અક્ષરના તમામ શબ્દો બનાવવામાં આવે છે અને અંગ્રેજી શબ્દકોશ મુજબ ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે. ધારો કે $n$ ક્રમાંક પરના શબ્દને $W_{n}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. જો શબ્દ $W_{n}$ પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W_{n}) = 2P(W_{n-1}), n > 1$ નું પાલન કરે છે. જો $P(CDBEA) = \frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}-1}, \alpha, \beta \in N$ હોય,તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો.

$1, 2,$ અને $3$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવતી સાત અંકની એવી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ કેટલી છે જેના અંકોનો સરવાળો $10$ થાય?