વિધેય $f: Z \rightarrow Z$ માટે $f(x+y)=f(x)+f(y)$ તમામ $x, y \in Z$ માટે હોય, તો આવા બાયજેક્ટિવ (એક-એક અને વ્યાપ્ત) વિધેયોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે વિધેયો $f$ અને $g$ એ $f: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow R$ જ્યાં $f(x) = \sin x$ અને $g: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow R$ જ્યાં $g(x) = \cos x$ છે,જ્યાં $R$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
વિધાન $(I)$: $f$ અને $g$ એક-એક (one-one) છે.
વિધાન $(II)$: $f+g$ એક-એક (one-one) છે.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

જો $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} x+4 & \text{માટે } x < -4 \\ 3x+2 & \text{માટે } -4 \leq x < 4 \\ x-4 & \text{માટે } x \geq 4 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો List-$I$ નું List-$II$ સાથેનું સાચું જોડાણ કયું છે?

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $f(-5) + f(-4)$	$(i)$ $14$
$(B)$ $f(|f(-8)|)$	$(ii)$ $4$
$(C)$ $f(f(-7) + f(3))$	$(iii)$ $-11$
$(D)$ $f(f(f(f(0)))) + 1$	$(iv)$ $-1$
	$(v)$ $1$
	$(vi)$ $0$

સાબિત કરો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$,જે $f(x)=2x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

જો વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=x^3-x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f$ એ

ધારો કે $E = \{ 1, 2, 3, 4 \} $ અને $F = \{ 1, 2 \} $ છે. તો $E$ થી $F$ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા શોધો.