$BARRACK$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले चार अक्षरों वाले शब्दों की संख्या है

'$NUTAN$' शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है यदि व्यंजन विषम स्थानों पर और स्वर सम स्थानों पर आएं?

$\sum_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक चुनाव में,एक मतदाता उम्मीदवारों की संख्या से अधिक नहीं,किसी भी संख्या में उम्मीदवारों को वोट दे सकता है। कुल $10$ उम्मीदवार हैं और $4$ को चुना जाना है। यदि कोई मतदाता कम से कम एक उम्मीदवार को वोट देता है,तो वह कितने तरीकों से वोट दे सकता है?

$21$ अंग्रेजी और $19$ हिंदी पुस्तकों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि कोई भी दो हिंदी पुस्तकें एक साथ न हों?

'$ARRANGEMENT$' शब्द के अक्षरों से कितने विन्यास (arrangements) बनाए जा सकते हैं?