(sqrt{3}+sqrt[8]{5})^{256} के विस्तार में पूर | vedclass

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Question

(B) $(\sqrt{3}+\sqrt[8]{5})^{256}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{256}C_r (3^{1/2})^{256-r} (5^{1/8})^r$ द्वारा दिया जाता है। पद को पूर्णांक

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$33$

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(B) $(\sqrt{3}+\sqrt[8]{5})^{256}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{256}C_r (3^{1/2})^{256-r} (5^{1/8})^r$ द्वारा दिया जाता है। पद को पूर्णांक होने के लिए,$3$ और $5$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए। इसका अर्थ है कि $\frac{256-r}{2}$ और $\frac{r}{8}$ पूर्णांक होने चाहिए। चूंकि $r$ को $8$ का गुणज होना चाहिए,इसलिए $r = 8k$ लें,जहाँ $k \in \{0, 1, 2, \dots, 32\}$। $r = 8k$ को $3$ के घातांक में रखने पर: $\frac{256-8k}{2} = 128-4k$,जो किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए हमेशा एक पूर्णांक होता है। अतः,$r$ के मान $0, 8, 16, \dots, 256$ हो सकते हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 0$,सार्व अंतर $d = 8$ और अंतिम पद $l = 256$ है। सूत्र $l = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$256 = 0 + (n-1)8$। $32 = n-1$,जिससे $n = 33$ प्राप्त होता है।

$(\sqrt{3}+\sqrt[8]{5})^{256}$ के विस्तार में पूर्णांक पदों की संख्या है

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