$p$ के उन पूर्णांक मानों की संख्या जिनके लिए सदिश $(p+1) \hat{i} - 3 \hat{j} + p \hat{k}$,$p \hat{i} + (p+1) \hat{j} - 3 \hat{k}$,और $-3 \hat{i} + p \hat{j} + (p+1) \hat{k}$ रैखिक रूप से आश्रित हैं,है:

सदिश $(\hat{i} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{i} + (\hat{j} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{j} + (\hat{k} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{k}$ किसके बराबर है?

सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित चतुष्फलक का आयतन $3$ है। तो $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए।

शून्यतर सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के लिए,प्रतिबंध $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$ तभी और केवल तभी सत्य है जब:

यदि $[(\overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}) \times(\overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a})] \cdot(\overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b})=54$ है,तो $[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $12$ घन इकाई है। $\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}, \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ किनारों वाले चतुष्फलक (tetrahedron) का आयतन ............. घन इकाई होगा।