જેની બાજુઓ ગણ $\{10, 11, 12, \ldots, 22\}$ માંથી હોય તેવા અસંગત પૂર્ણાંક બાજુવાળા ત્રિકોણોની સંખ્યા કેટલી છે?

એક સીધી રેખા $AB$ પર $m$ બિંદુઓ છે અને બીજી રેખા $AC$ પર $n$ બિંદુઓ છે,જેમાંથી કોઈ પણ બિંદુ $A$ નથી. જ્યારે $(i)$ $A$ ને બાકાત રાખવામાં આવે અને $(ii)$ $A$ નો સમાવેશ કરવામાં આવે ત્યારે આ બિંદુઓમાંથી ત્રિકોણ બનાવવામાં આવે છે. તો બંને કિસ્સાઓમાં ત્રિકોણની સંખ્યાનો ગુણોત્તર શું છે?

$6$ છોકરાઓ અને $6$ છોકરીઓને એક હરોળમાં યાદચ્છિક રીતે ગોઠવવામાં આવે છે. તો $6$ છોકરીઓ એકસાથે હોય તેની સંભાવના શોધો.

$2$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $L_1$ અને $\frac{1}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $L_2$ ઉગમબિંદુ $O$ પર છેદે છે. પ્રથમ ચરણમાં,$P_1, P_2, \ldots, P_{12}$ એ રેખા $L_1$ પરના $12$ બિંદુઓ છે અને $Q_1, Q_2, \ldots, Q_9$ એ રેખા $L_2$ પરના $9$ બિંદુઓ છે. તો $22$ બિંદુઓ $(O, P_1, P_2, \ldots, P_{12}, Q_1, Q_2, \ldots, Q_9)$ માંથી ત્રણ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા ત્રિકોણની કુલ સંખ્યા કેટલી થાય?

એક રેખા પરના $5$ બિંદુઓ અને સમાંતર રેખા પરના $3$ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને કેટલા ત્રિકોણ બનાવી શકાય?

$XY$-સમતલમાં પૂર્ણાંક યામ ધરાવતા બિંદુઓ $(x, y)$ કે જે $0 \leq x \leq 4$ અને $0 \leq y \leq 4$ નું પાલન કરે છે,તેવા બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને બનતા ત્રિકોણોની સંખ્યા કેટલી છે?