निकाय $x-y+z=0, x+2y-z=0, 2x+y+3z=0$ के गैर-तुच्छ (non-trivial) हलों की संख्या है

समीकरणों $x + 2y + 3z = 1,$ $2x + y + 3z = 2,$ और $5x + 5y + 9z = 4$ के:

मान लीजिए $\alpha, \beta (\alpha \neq \beta)$ $m$ के वे मान हैं जिनके लिए समीकरणों $x+y+z=1$,$x+2y+4z=m$,और $x+4y+10z=m^2$ के अनंत हल हैं। तो $\sum_{n=1}^{10}(n^\alpha+n^\beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

रैखिक समीकरणों के निकाय $x+y+z=5$,$x+2y+\lambda^2 z=9$,और $x+3y+\lambda z=\mu$ पर विचार करें,जहाँ $\lambda, \mu \in R$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है?

युगपत रैखिक समीकरणों $\beta x + \alpha y - z = -1$, $3x - \beta y + \alpha z = 0$, और $\alpha x + \beta y + z = 1$ पर विचार करें। क्रेमर के नियम में प्रयुक्त सामान्य संकेतन में, यदि $\frac{\Delta_1}{\Delta} = -1$, $\frac{\Delta_2}{\Delta} = 1$, और $\frac{\Delta_3}{\Delta} = 2$ दिया गया है, तो $(\alpha, \beta) = $

रैखिक समीकरणों का निकाय $3x - 2y - kz = 10$,$2x - 4y - 2z = 6$,और $x + 2y - z = 5m$ असंगत है यदि