शीर्षों $(0,0)$,$(0,41)$ और $(41,0)$ वाले त्रिभुज के आंतरिक भाग में स्थित,दोनों निर्देशांकों के पूर्णांक होने वाले बिंदुओं की संख्या क्या है?

जब एक स्कूल के सभी छात्रों को $54$ की पंक्तियों में खड़ा किया जाता है,तो ऐसी $30$ पंक्तियाँ बनती हैं। यदि छात्रों को $45$ की पंक्तियों में खड़ा किया जाए,तो ऐसी कितनी पंक्तियाँ बनेंगी?

एक क्लब में $6$ पुरुष और $8$ महिलाएँ हैं। जिसमें $5$ लोगों की एक समिति बनाई जानी है। यदि $2$ पुरुष और $3$ महिलाओं का चयन किया जाना है,तो $5$ लोगों को चुनने के तरीकों की संख्या क्या होगी?

यदि $(n+2)! = 2550(n!)$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

Rs. $100$ के $4$ नोट और Rs. $1$,Rs. $2$,Rs. $5$,Rs. $20$ और Rs. $50$ के $5$ अन्य नोट हैं। इन नोटों को $3$ बच्चों में इस प्रकार वितरित किया जाना है कि प्रत्येक बच्चे को कम से कम एक Rs. $100$ का नोट मिले। वितरण के कुल तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $n$ उन विभिन्न $5$-अंकीय संख्याओं की संख्या है,जो $4$ से विभाज्य हैं और जिन्हें $1, 2, 3, 4, 5,$ और $6$ अंकों का उपयोग करके बनाया गया है,इस प्रकार कि संख्याओं में कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है। $n$ का मान क्या है?