$|z - (4 + 3i)| = 2$ और $|z| + |z - 4| = 6$,$z \in \mathbb{C}$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या क्या है?

वृत्त $4x^2 + 4y^2 = 25$ और दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 36$ पर खींची गई एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के ढाल का वर्ग है

List-$I$ में दिए गए प्राचलिक रूपों को List-$II$ में उनके संबंधित शांकव अनुभागों के साथ सुमेलित करें:

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $\left[\frac{p}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right), \frac{q}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right]$	$(I)$ परवलय
$(B)$ $(p+q \cos \theta, r+q \sin \theta)$	$(II)$ वृत्त
$(C)$ $(p+\lambda^2, q-\lambda)$	$(III)$ दीर्घवृत्त
	$(IV)$ अतिपरवलय

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$AB$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक द्वि-कोटि (double ordinate) है,इस प्रकार कि $\Delta AOB$ (जहाँ $O$ मूलबिंदु है) एक समबाहु त्रिभुज है। तब अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ संतुष्ट करती है:

यदि दो भिन्न शांकवों $x^2+y^2=4b$ और $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के प्रतिच्छेदन बिंदु वक्र $y^2=3x^2$ पर स्थित हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा निर्मित आयत के क्षेत्रफल का $3\sqrt{3}$ गुना क्या होगा............................