સમીકરણ $e^{6x} - e^{4x} - 2e^{3x} - 12e^{2x} + e^{x} + 1 = 0$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $f(x) = 4x^3 - x^2 - 2x + 1$ અને $g(x) = \begin{cases} \min \{f(t) : 0 \le t \le x\} & ; 0 \le x \le 1 \\ 3 - x & ; 1 < x \le 2 \end{cases}$ હોય,તો $g\left( \frac{1}{4} \right) + g\left( \frac{3}{4} \right) + g\left( \frac{5}{4} \right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(\theta)=3\left(\sin ^4\left(\frac{3 \pi}{2}-\theta\right)+\sin ^4(3 \pi+\theta)\right)-2\left(1-\sin ^2 2 \theta\right)$ અને $S=\left\{\theta \in[0, \pi]: f^{\prime}(\theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$. જો $4 \beta=\sum_{\theta \in S} \theta$ હોય,તો $f(\beta)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = (\sin(\tan^{-1} x) + \sin(\cot^{-1} x))^2 - 1$ જ્યાં $|x| > 1$. જો $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(f(x)))$ અને $y(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ હોય,તો $y(-\sqrt{3})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \frac{5 e^{1/x} + 2}{3 - e^{1/x}}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$. તો $x = 0$ આગળ,$x f(x)$ અને $f(x)$ અનુક્રમે શું છે?

જો $F(x) = \left(f\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2 + \left(g\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2$,જ્યાં $f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$ અને $g(x) = f^{\prime}(x)$,અને $F(5) = 5$ આપેલ હોય,તો $F(10)$ ની કિંમત શોધો.