अंतराल [0, pi] में समीकरण (81)^{sin ^2 x} + ( | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $(81)^{\sin ^2 x} + (81)^{\cos ^2 x} = 30 \dots (i)$ माना $y = 81^{\sin ^2 x}$. तब $81^{\cos ^2 x} = 81^{(1 - \sin ^2 x)} = \frac

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$4$

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(A) दिया गया समीकरण: $(81)^{\sin ^2 x} + (81)^{\cos ^2 x} = 30 \dots (i)$ माना $y = 81^{\sin ^2 x}$. तब $81^{\cos ^2 x} = 81^{(1 - \sin ^2 x)} = \frac{81}{81^{\sin ^2 x}} = \frac{81}{y}$. समीकरण $(i)$ में मान रखने पर,$y + \frac{81}{y} = 30$. $y^2 - 30y + 81 = 0$. $(y - 27)(y - 3) = 0$. अतः $y = 27$ या $y = 3$. स्थिति $1$: $81^{\sin ^2 x} = 27 \implies 3^{4 \sin ^2 x} = 3^3 \implies 4 \sin ^2 x = 3 \implies \sin ^2 x = \frac{3}{4} \implies \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. चूंकि $x \in [0, \pi]$,$\sin x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$. स्थिति $2$: $81^{\sin ^2 x} = 3 \implies 3^{4 \sin ^2 x} = 3^1 \implies 4 \sin ^2 x = 1 \implies \sin ^2 x = \frac{1}{4} \implies \sin x = \pm \frac{1}{2}$. चूंकि $x \in [0, \pi]$,$\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$. मूल $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ हैं। अतः,कुल मूलों की संख्या $4$ है।

अंतराल $[0, \pi]$ में समीकरण $(81)^{\sin ^2 x} + (81)^{\cos ^2 x} = 30$ के मूलों की संख्या कितनी है?

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