$1, 2, 3, 5$ और $7$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली सात-अंकीय संख्याओं की संख्या, जिसमें प्रत्येक अंक का कम से कम एक बार उपयोग किया गया हो, क्या है?

$A, B, C, D, E$ अक्षरों का उपयोग करके सभी पांच अक्षरों वाले शब्द बनाए जाते हैं और उन्हें अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रमबद्ध किया जाता है। मान लीजिए कि $n$ वें क्रम पर स्थित शब्द $W_{n}$ है। यदि शब्द $W_{n}$ को चुनने की प्रायिकता $P(W_{n}) = 2P(W_{n-1}), n > 1$ का पालन करती है। यदि $P(CDBEA) = \frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}-1}, \alpha, \beta \in N$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(n + 1)$ सफेद गेंदें और $(n + 1)$ काली गेंदें हैं। प्रत्येक गेंद पर $1$ से $(n + 1)$ तक की संख्या अंकित है। इन गेंदों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि कोई भी दो समान रंग की गेंदें आसन्न न हों?

मान लीजिए $m$ एक ऐसी प्राकृतिक संख्या है कि $20000 < m < 60000$ और $k$,$m$ के सभी अंकों का योग है। तो $m$ की उन संख्याओं की संख्या जिनके लिए $k$ सम है,है

$0, 1, 2, 3, 4, 5$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $3$ से विभाज्य पाँच अंकों की एक संख्या बनानी है। ऐसा करने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

यदि $4, 6, 9, 5, 3, x$ और $y$ अंकों से बनी सात अंकों की संख्या $3$ से विभाज्य है,तो ऐसी क्रमित युग्मों $(x, y)$ की संख्या क्या है?