$2 \times 2$ क्रम के उन सिंगुलर आव्यूहों की संख्या क्या है,जिनके अवयव समुच्चय $\{2, 3, 6, 9\}$ से लिए गए हैं?

यदि $f:[0, \pi / 2) \rightarrow R$ को $f(\theta)=\left|\begin{array}{ccc}1 & \tan \theta & 1 \\ -\tan \theta & 1 & \tan \theta \\ -1 & -\tan \theta & 1\end{array}\right|$ के रूप में परिभाषित किया गया है, तो $f$ का परिसर (range) क्या है?

यदि $\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 + a^3 \\ b & b^2 & 1 + b^3 \\ c & c^2 & 1 + c^3 \end{array} \right| = 0$ और सदिश $\vec{a} = (1, a, a^2)$,$\vec{b} = (1, b, b^2)$,और $\vec{c} = (1, c, c^2)$ असमतलीय हैं,तो $abc$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A_1, A_2, A_3$ तीन समांतर श्रेणियाँ ($A$.$P$.) हैं जिनका सार्व अंतर $d$ समान है और उनके प्रथम पद क्रमशः $A, A+1, A+2$ हैं। मान लीजिए $a, b, c$ क्रमशः $A_1, A_2, A_3$ के $7^{\text{th}}, 9^{\text{th}}, 17^{\text{th}}$ पद हैं,इस प्रकार कि $\left|\begin{array}{lll} a & 7 & 1 \\ 2b & 17 & 1 \\ c & 17 & 1\end{array}\right|+70=0$ है। यदि $a=29$ है,तो उस समांतर श्रेणी के प्रथम $20$ पदों का योग,जिसका प्रथम पद $c-a-b$ और सार्व अंतर $\frac{d}{12}$ है,$........$ के बराबर है।

यदि $A = \begin{bmatrix} \cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} \cos^2 \phi & \sin \phi \cos \phi \\ \sin \phi \cos \phi & \sin^2 \phi \end{bmatrix}$ और $\theta$ तथा $\phi$ का अंतर $\frac{\pi}{2}$ है,तो $AB = $

मान लीजिए $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है, जहाँ $A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ और $A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ है। यदि $\det(A) = 1$ है और आव्यूह $A$ समीकरण $A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ को संतुष्ट करता है, तो $\det(\text{adj}(A^2 + A))$ का मान ज्ञात कीजिए: