$1$ से $1000$ तक के पूर्णांकों को सूचीबद्ध करते समय अंक $3$ कितनी बार लिखा जाएगा?

गेंदों को उनके रंग के अलावा समान मानते हुए,$10$ सफेद,$9$ हरी और $7$ काली गेंदों में से एक या अधिक गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या क्या है:

मान लीजिए $n \geq 3$ एक पूर्णांक है। $(1, 2, \ldots, n)$ के क्रमचय $\sigma = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ के लिए,हम $f_\sigma(x) = a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_2 x + a_1$ को परिभाषित करते हैं। मान लीजिए $S_\sigma$ समीकरण $f_\sigma(x) = 0$ के मूलों का योग है और $S$ उन सभी क्रमचयों $\sigma$ पर $S_\sigma$ के मानों का योग दर्शाता है। तो,

$1012$ और $23421$ के बीच स्थित ऐसी कितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिन्हें $2, 3, 4, 5, 6$ अंकों का उपयोग करके बनाया जा सकता है (अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है) और जो $55$ से विभाज्य हैं?

$100$ रुपये के $4$ नोट और $1$,$2$,$5$,$20$ और $50$ रुपये के $5$ अन्य नोट हैं। इन $9$ नोटों को $3$ बच्चों में इस प्रकार वितरित किया जाना है कि प्रत्येक बच्चे को $100$ रुपये का कम से कम एक नोट मिले। वितरण के कुल तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

अंकों ${2, 3, 5, 7}$ का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनाई गई सभी $4$-अंकीय संख्याओं का योग क्या है?