अंकों ${2, 3, 5, 7}$ का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनाई गई सभी $4$-अंकीय संख्याओं का योग क्या है?

एक बॉक्स में $5$ नीली, $6$ पीली और $4$ लाल गेंदें हैं। $8$ गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें प्रत्येक रंग की कम से कम दो गेंदें हों:

$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से $4$ पत्ते चुनने के कुल कितने तरीके हैं? इनमें से कितने तरीकों में चारों पत्ते एक ही सूट (suit) के होंगे?

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(i)$ समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक एकैकी फलनों (one-one functions) की संख्या,जहाँ $O(A) = m$ और $O(B) = n$ $(m \leq n)$ है,${}^n P_m$ द्वारा दी जाती है।
(ii) $n$ लोगों को एक वृत्ताकार मेज पर व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{(n-1)!}{2}$ है।
(iii) दी गई $n$ भिन्न वस्तुओं में से कम से कम एक वस्तु चुनने के तरीकों की संख्या $2^n - 1$ है।
(iv) $n$ अलग-अलग वस्तुओं को $k$ अलग-अलग डिब्बों में वितरित करने के तरीकों की संख्या ${}^n C_{k-1}$ है।
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$100$ और $1000$ के बीच ऐसी कुल कितनी संख्याएँ हैं जिन्हें अंकों $1, 2, 3, 4, 5$ का उपयोग करके बनाया जा सकता है,यदि अंकों की पुनरावृत्ति न हो और संख्याएँ $3$ या $5$ से विभाज्य हों?

मान लीजिए $m$ एक ऐसी प्राकृतिक संख्या है कि $20000 < m < 60000$ और $k$,$m$ के सभी अंकों का योग है। तो $m$ की उन संख्याओं की संख्या जिनके लिए $k$ सम है,है