$MATHEMATICS$ शब्द के अक्षरों में से पांच अक्षरों को चुनने के तरीकों की संख्या क्या है,जहाँ चुने गए अक्षर अलग-अलग होना आवश्यक नहीं है?

यदि $\binom{n-1}{4}$,$\binom{n-1}{5}$,और $\binom{n-1}{6}$ समांतर श्रेणी में हैं,तो $n$ ज्ञात कीजिए।

$n$ छात्रों में से पाँच छात्रों का चयन इस प्रकार किया जाता है कि $2$ विशेष छात्रों के चयन के तरीकों की संख्या और $2$ विशेष छात्रों के चयन न होने के तरीकों की संख्या का अनुपात $2:3$ है। तो $n$ का मान है

$^{20}C_1 + 3 ^{20}C_2 + 3 ^{20}C_3 + ^{20}C_4$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक व्यक्ति को $(2n + 1)$ अलग-अलग सिक्कों के संग्रह से कम से कम एक और अधिक से अधिक $n$ सिक्के चुनने की अनुमति है। यदि सिक्कों को चुनने के कुल तरीकों की संख्या $255$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $^{15}C_{3r} = ^{15}C_{r+3}$ है,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।