$^{20}C_1 + 3 ^{20}C_2 + 3 ^{20}C_3 + ^{20}C_4$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $n$ और $k$ ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं कि $n \ge \frac{k(k + 1)}{2}$ है। $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ को संतुष्ट करने वाले $(x_1, x_2, ..., x_k)$ हलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $x_1 \ge 1, x_2 \ge 2, ..., x_k \ge k$ सभी पूर्णांक हैं।

$8$ व्यक्तियों के एक सम्मेलन में,यदि प्रत्येक व्यक्ति अन्य प्रत्येक व्यक्ति के साथ केवल एक बार हाथ मिलाता है,तो हाथ मिलाने की कुल संख्या क्या होगी?

एक छात्र को परीक्षा में $13$ में से $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं। यदि उसे पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $3$ प्रश्नों के उत्तर देने ही हैं,तो वह कितने तरीकों से उत्तर दे सकता है?

अंग्रेजी वर्णमाला में $5$ स्वर और $21$ व्यंजन हैं। वर्णमाला से दो अलग-अलग स्वरों और दो अलग-अलग व्यंजनों वाले कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

$5$ व्यंजनों और $4$ स्वरों में से $3$ व्यंजन और $2$ स्वर लेकर कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?