31 वस्तुओं में से 10 वस्तुओं को चुनने के तरीक | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $10$ समान वस्तुएं $I$ हैं और $21$ भिन्न वस्तुएं $D_1, D_2, ..., D_{21}$ हैं।$10$ वस्तुओं का चयन करने के लिए,हम $21$ भिन्न वस्तुओं में से

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$2^{20}$

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(A) मान लीजिए $10$ समान वस्तुएं $I$ हैं और $21$ भिन्न वस्तुएं $D_1, D_2, ..., D_{21}$ हैं।$10$ वस्तुओं का चयन करने के लिए,हम $21$ भिन्न वस्तुओं में से $k$ वस्तुएं और $10$ समान वस्तुओं में से $(10-k)$ वस्तुएं चुन सकते हैं,जहाँ $0 \le k \le 10$.समान वस्तुओं के लिए चयन का केवल $1$ तरीका है।कुल तरीके = $\sum_{k=0}^{10} \binom{21}{k} = \binom{21}{0} + \binom{21}{1} + ... + \binom{21}{10}$.हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{21} \binom{21}{k} = 2^{21}$.चूंकि $\binom{21}{k} = \binom{21}{21-k}$,इसलिए $\sum_{k=0}^{10} \binom{21}{k} = \sum_{k=11}^{21} \binom{21}{k}$ है।मान लीजिए $S = \sum_{k=0}^{10} \binom{21}{k}$. तब $S + S = 2^{21}$,जिससे $S = 2^{20}$ प्राप्त होता है।

$31$ वस्तुओं में से $10$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए,जिनमें से $10$ समान हैं और शेष $21$ भिन्न हैं।

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