30 समान कैंडी को चार बच्चों C_{1}, C_{2}, C_{ | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ बच्चों $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ द्वारा प्राप्त कैंडी की संख्या है।हमारे पास $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_

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$430$

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(D) मान लीजिए $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ बच्चों $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ द्वारा प्राप्त कैंडी की संख्या है।हमारे पास $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 30$ है,जहाँ $x_{1}, x_{4} \ge 0$,$4 \le x_{2} \le 7$,और $2 \le x_{3} \le 6$ है।मान लीजिए $x_{2} = 4 + y_{2}$ जहाँ $0 \le y_{2} \le 3$,और $x_{3} = 2 + y_{3}$ जहाँ $0 \le y_{3} \le 4$ है।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $x_{1} + (4 + y_{2}) + (2 + y_{3}) + x_{4} = 30 \Rightarrow x_{1} + y_{2} + y_{3} + x_{4} = 24$ प्राप्त होता है।तरीकों की संख्या $(1+x+x^{2}+x^{3})(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})(1+x+x^{2}+\dots)^{2}$ के विस्तार में $x^{24}$ का गुणांक है।यह $(1-x^{4})(1-x^{5})(1-x)^{-4} = (1-x^{4}-x^{5}+x^{9})(1-x)^{-4}$ में $x^{24}$ का गुणांक है।$(1-x)^{-r}$ में $x^{n}$ के गुणांक के सूत्र $\binom{n+r-1}{r-1}$ का उपयोग करने पर:गुणांक $= \binom{24+4-1}{4-1} - \binom{20+4-1}{4-1} - \binom{19+4-1}{4-1} + \binom{15+4-1}{4-1}$ है।$= \binom{27}{3} - \binom{23}{3} - \binom{22}{3} + \binom{18}{3}$ है।$= 2925 - 1771 - 1540 + 816 = 430$ है।

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