एक माध्यम के प्रकाशीय गुण सापेक्ष विद्युतशीलता $(\epsilon_r)$ और सापेक्ष चुंबकशीलता $(\mu_r)$ द्वारा नियंत्रित होते हैं। अपवर्तनांक को $n = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। सामान्य पदार्थों के लिए $\epsilon_r > 0$ और $\mu_r > 0$ होते हैं और वर्गमूल के लिए धनात्मक चिह्न लिया जाता है। $1964$ में,एक रूसी वैज्ञानिक वी. वेसेलागो ने $\epsilon_r < 0$ और $\mu_r < 0$ वाले पदार्थ के अस्तित्व का प्रतिपादन किया। तब से,ऐसी 'मेटा-मटेरियल्स' प्रयोगशालाओं में बनाई गई हैं और उनके प्रकाशीय गुणों का अध्ययन किया गया है। ऐसे पदार्थों के लिए $n = -\sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ होता है। जैसे ही प्रकाश ऐसे अपवर्तनांक वाले माध्यम में प्रवेश करता है,तरंगें प्रसार की दिशा से दूर यात्रा करती हैं।
$(i)$ उपरोक्त विवरण के अनुसार,दिखाएं कि यदि प्रकाश की किरणें हवा (अपवर्तनांक $= 1$) से ऐसे माध्यम में $2^{nd}$ चतुर्थांश में $\theta_i$ कोण पर प्रवेश करती हैं,तो अपवर्तित किरण $3^{rd}$ चतुर्थांश में होती है।
$(ii)$ सिद्ध कीजिए कि ऐसे माध्यम के लिए स्नेल का नियम लागू होता है।

(N/A) $(i)$ हवा $(n_1 = 1)$ और मेटा-मटेरियल $(n_2 = -|n|)$ के बीच के इंटरफेस पर विचार करें। मान लीजिए कि एक तरंगिका $BC$ इंटरफेस पर $C$ पर आपतित होती है। हाइगेंस के सिद्धांत के अनुसार,तरंगिका को $B$ से $C$ तक यात्रा करने में लगा समय $t = \frac{BC}{c}$ है। उसी समय $t$ में,$A$ से द्वितीयक तरंगिका को मेटा-मटेरियल में $AD = v_2 t = \frac{c}{|n_2|} t = \frac{BC}{|n_2|}$ दूरी तय करनी चाहिए।
आपतित तरंगिका की ज्यामिति से,$BC = AC \sin \theta_i$। अपवर्तित तरंगिका की ज्यामिति से,$AD = AC \sin \theta_r$। चूंकि मेटा-मटेरियल में फेज वेग इंटरफेस की ओर निर्देशित होता है,इसलिए अपवर्तित किरण को आपतित किरण के रूप में अभिलंब के एक ही तरफ होना चाहिए लेकिन अभिलंब के सापेक्ष विपरीत चतुर्थांश में,जो इसे $3^{rd}$ चतुर्थांश में रखता है।
$(ii)$ त्रिभुज $ABC$ और $ADC$ से,हमारे पास $\sin \theta_i = \frac{BC}{AC}$ और $\sin \theta_r = \frac{AD}{AC}$ है।
दोनों को विभाजित करने पर,हमें $\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r} = \frac{BC}{AD}$ प्राप्त होता है।
$BC = c t$ और $AD = |v_2| t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r} = \frac{c}{|v_2|} = |n_2|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n_2 = -|n_2|$,हमारे पास $\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r} = n_2$ है (कोणों के अनुपात के लिए परिमाण लेते हुए),जो पुष्टि करता है कि स्नेल का नियम लागू होता है।