परवलय $y^2 = 4ax$ में अंतर्निहित त्रिभुज के शीर्षों के कोटि (ordinates) $y_1, y_2, y_3$ हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $E$ परवलय $y^2=8x$ को दर्शाता है। मान लीजिए $P=(-2,4)$ है,और मान लीजिए $Q$ और $Q^{\prime}$ परवलय $E$ पर दो अलग-अलग बिंदु हैं,इस प्रकार कि रेखाएं $PQ$ और $PQ^{\prime}$,$E$ की स्पर्श रेखाएं हैं। मान लीजिए $F$,$E$ की नाभि है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ त्रिभुज $PFQ$ एक समकोण त्रिभुज है
$(B)$ त्रिभुज $QPQ^{\prime}$ एक समकोण त्रिभुज है
$(C)$ $P$ और $F$ के बीच की दूरी $5\sqrt{2}$ है
$(D)$ $F$,$Q$ और $Q^{\prime}$ को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित है

$x+y=4$ और $x-y=2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा $X$-अक्ष के साथ $\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ का कोण बनाती है। यह परवलय $y^{2}=4(x-3)$ को बिंदुओं $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ पर प्रतिच्छेद करती है। तो $|x_{1}-x_{2}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

वक्र $y^2=2(x-3)$ पर वह बिंदु जहाँ अभिलंब रेखा $y-2x+1=0$ के समांतर है,है

मान लीजिए कि परवलय $y^{2}=16x$ की एक नाभीय जीवा का एक सिरा $(16, 16)$ है। यदि $P(\alpha, \beta)$ इस नाभीय जीवा को $5 : 2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, तो $\alpha+\beta$ का न्यूनतम मान क्या होगा?

परवलय $y^2 = 4x$ पर बिंदु $(4, 4)$ पर खींचा गया अभिलंब परवलय को पुनः जिस बिंदु पर काटता है,वह ज्ञात कीजिए।