सरल रेखाओं के युग्म को समीकरण $3dx^2 - 5xy + (d^2 - 2)y^2 = 0$ द्वारा दर्शाया गया है। यदि रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो $d$ के कितने मानों के लिए यह शर्त पूरी होगी?

$\cos \theta(\cos \theta+1) x^2 - (2 \cos \theta + \sin^2 \theta) xy + (1 - \cos \theta) y^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच का कोण है

यदि समीकरण $(p - q)x^2 + 2(p + q)xy + (q - p)y^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं,तो:

यदि $x^2 + 2hxy + 6y^2 = 0$ द्वारा दी गई दोनों रेखाओं की ढाल धनात्मक है और उनके बीच का कोण $\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$ है,तो $h$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A x^2+2 H x y+B y^2=0$ द्वारा दी गई सरल रेखाओं का युग्म,जहाँ $(H^2>A B)$,रेखा $a x+b y+c=0$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाता है,तो $(A+3 B)(3 A+B)=$ ($H^2$ में)

यदि समीकरण ${x^2} - 3xy + \lambda {y^2} + 3x - 5y + 2 = 0$ द्वारा निरूपित सरल रेखाओं के युग्म के बीच का कोण ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{3}} \right)$ है,जहाँ $\lambda$ एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।