अवकल समीकरण (y + x cdot frac{dy}{dx}) cdot si | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(y + x \frac{dy}{dx}) \sin(xy) = \cos x$ माना $u = xy$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{du}{dx} = y + x \frac{dy}{dx

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$\sin x + \cos(xy) = 1$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(y + x \frac{dy}{dx}) \sin(xy) = \cos x$ माना $u = xy$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{du}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\sin(u) \frac{du}{dx} = \cos x$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \sin(u) du = \int \cos x dx$। परिणामस्वरूप: $-\cos(u) = \sin x + C$। $u = xy$ वापस रखने पर: $-\cos(xy) = \sin x + C$। $x = 0$ पर,$\cos(0) = -\sin(0) - C$ होता है,जिसका अर्थ है $1 = 0 - C$,अतः $C = -1$। इस प्रकार,$-\cos(xy) = \sin x - 1$,जिसे सरल करने पर $\sin x + \cos(xy) = 1$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $(y + x \cdot \frac{dy}{dx}) \cdot \sin(xy) = \cos x$ का $x = 0$ पर विशिष्ट हल है

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