સમતલ $ax + by = 0$ ને સમતલ $z = 0$ સાથેની તેની છેદરેખાની આસપાસ $\alpha$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે. સાબિત કરો કે નવી સ્થિતિમાં સમતલનું સમીકરણ $ax + by \pm (\sqrt{a^{2} + b^{2}} \tan \alpha) z = 0$ છે.

(A) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $ax + by = 0$ છે ... $(i)$.
સમતલ $z = 0$ નું સમીકરણ ... $(ii)$ છે.
સમતલ $(i)$ અને $(ii)$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $ax + by + kz = 0$ તરીકે લખી શકાય ... $(iii)$.
સમતલ $(i)$ નો અભિલંબ $\vec{n_1} = (a, b, 0)$ છે અને સમતલ $(iii)$ નો અભિલંબ $\vec{n_2} = (a, b, k)$ છે.
આ બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\cos \alpha = \frac{|a^2 + b^2 + 0|}{\sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 + b^2 + k^2}} = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 + b^2 + k^2}} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2 + k^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\cos^2 \alpha = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2 + k^2}$.
$a^2 + b^2 + k^2 = \frac{a^2 + b^2}{\cos^2 \alpha} = (a^2 + b^2) \sec^2 \alpha$.
$k^2 = (a^2 + b^2) \sec^2 \alpha - (a^2 + b^2) = (a^2 + b^2) (\sec^2 \alpha - 1) = (a^2 + b^2) \tan^2 \alpha$.
આમ,$k = \pm \sqrt{a^2 + b^2} \tan \alpha$.
$k$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા,આપણને $ax + by \pm (\sqrt{a^2 + b^2} \tan \alpha) z = 0$ મળે છે.