समतल 3x + 4y + 6z + 7 = 0 को रेखा r = (hat{i} | vedclass

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Question

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाले और रेखा $r = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + t(2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण,रेखा

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$x + y + z = 0$

Vedclass · Answer

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाले और रेखा $r = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + t(2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण,रेखा पर स्थित बिंदु के स्थिति सदिश,रेखा की दिशा और सामान्य सदिश $r = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ के अदिश त्रिक गुणनफल द्वारा दिया जाता है।चूंकि समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरता है,समीकरण $(r - 0) \cdot [(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) 	imes (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})] = 0$ होगा।क्रॉस गुणनफल की गणना करने पर:$(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) 	imes (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 2 & -3 \ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 9) - \hat{j}(1 + 6) + \hat{k}(-3 - 4) = -7\hat{i} - 7\hat{j} - 7\hat{k}$.अतः,समतल का समीकरण $r \cdot (-7\hat{i} - 7\hat{j} - 7\hat{k}) = 0$ है,जो सरल होकर $r \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$ हो जाता है।यह कार्तीय समीकरण $x + y + z = 0$ के अनुरूप है।इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

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