आर्गंड समतल में बिंदु z इस प्रकार गति करता है | vedclass

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Question

(B) माना $z = x + iy$ है। तब $iz + 1 = i(x + iy) + 1 = (1 - y) + ix$ और $iz - 1 = i(x + iy) - 1 = -(1 + y) + ix$ है। व्यंजक $\frac{iz + 1}{iz - 1} = \

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एक वृत्त

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(B) माना $z = x + iy$ है। तब $iz + 1 = i(x + iy) + 1 = (1 - y) + ix$ और $iz - 1 = i(x + iy) - 1 = -(1 + y) + ix$ है। व्यंजक $\frac{iz + 1}{iz - 1} = \frac{(1 - y) + ix}{-(1 + y) + ix}$ पर विचार करें। अंश और हर को हर के संयुग्मी $-(1 + y) - ix$ से गुणा करें। हर $(-(1 + y))^2 + x^2 = (1 + y)^2 + x^2$ हो जाता है। अंश का वास्तविक भाग $(1 - y)(-(1 + y)) + x^2 = -(1 - y^2) + x^2 = x^2 + y^2 - 1$ है। अतः, $\operatorname{Re} \left( \frac{iz + 1}{iz - 1} \right) = \frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + (y + 1)^2} = 2$ है। यह $x^2 + y^2 - 1 = 2(x^2 + y^2 + 2y + 1)$ में सरल हो जाता है, जो $x^2 + y^2 - 1 = 2x^2 + 2y^2 + 4y + 2$ है। पुनर्व्यवस्थित करने पर $x^2 + y^2 + 4y + 3 = 0$ प्राप्त होता है। यह एक वृत्त का समीकरण $x^2 + (y + 2)^2 = 1$ है।

आर्गंड समतल में बिंदु $z$ इस प्रकार गति करता है कि $\operatorname{Re} \left( \frac{iz + 1}{iz - 1} \right) = 2$ है। तो $z$ का बिंदुपथ क्या है?

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