ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 - 16x - 54y + 61 = 0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(1, 3)$ નું સ્થાન શું છે?

વક્ર $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ધ્યાનમાં લો. વક્રના કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શકનો ભાગ જે સંપર્ક બિંદુ અને નિયામિકા (directrix) વચ્ચે આવેલો છે, તે અનુરૂપ નાભિ (focus) પર કેટલા માપનો ખૂણો આંતરે છે?

ધારો કે $F$ અને $F'$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(b < 2)$ ના નાભિઓ છે અને $B$ એ ગૌણ અક્ષનું એક અંત્યબિંદુ છે. જો ત્રિકોણ $FBF'$ નું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

જો ઉપવલયની ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુનું નાભિ અંતર (તેની અક્ષોને અનુક્રમે $x$ અને $y$ અક્ષ તરીકે લેતા) $k$ હોય અને તેની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2h$ હોય,તો તેનું સમીકરણ શું થાય?

ઉપવલય $x^2+4y^2=64$ માં અંતર્ગત મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસની બાજુઓ છે:

ગ્રહ $M$ તેના સૂર્ય $S$ ની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં ફરે છે,જેમાં સૂર્ય એક નાભિ પર છે. જ્યારે $M$ એ $S$ ની સૌથી નજીક હોય છે,ત્યારે તે $2$ એકમ દૂર હોય છે. જ્યારે $M$ એ $S$ થી સૌથી દૂર હોય છે,ત્યારે તે $18$ એકમ દૂર હોય છે. જો $S$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર હોય અને બીજી નાભિ ઋણ $y$-અક્ષ પર હોય,તો ગ્રહ $M$ ની લંબગોળ કક્ષાનું સમીકરણ શોધો.