સમતલીય બિંદુઓ $A, B, C,$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c},$ અને $\vec{d}$ છે,જેથી $(\vec{a} - \vec{d}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ અને $(\vec{b} - \vec{d}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$ થાય. તો ત્રિકોણ $ABC$ માટે બિંદુ $D$ એ શું છે?

જો $P$ એ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણોનું છેદબિંદુ હોય અને $O$ કોઈ બિંદુ હોય,તો $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = .......$

ધારો કે $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ બે સદિશો છે. એક સદિશ $\vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. જો સદિશ $(\vec{a} + \vec{b})$ પર $\vec{c}$ નો પ્રક્ષેપ $3\sqrt{2}$ હોય,તો $(\vec{c} - (\vec{a} \times \vec{b})) \cdot \vec{c}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

જો $\hat{a}, \hat{b}$ અને $\hat{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય અને જો $\hat{d}$ એવું હોય કે $\hat{d} = \frac{1}{x}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c})$ અને $\hat{d} = \frac{1}{y}(\hat{b} + \hat{c} + \hat{d})$ જ્યાં $x$ અને $y$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તો $\frac{1}{xy}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\triangle PQR$ એક ત્રિકોણ છે. ધારો કે $\vec{a}=\overline{QR}, \vec{b}=\overline{RP}$ અને $\vec{c}=\overline{PQ}$. જો $|\vec{a}|=12, |\vec{b}|=4\sqrt{3}$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c}=24$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું (કયા) વિધાન સાચું છે?
$(A) \frac{|\vec{c}|^2}{2}-|\vec{a}|=12$
$(B) \frac{|\vec{c}|^2}{2}+|\vec{a}|=30$
$(C) |\vec{a} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{a}|=48\sqrt{3}$
$(D) \vec{a} \cdot \vec{b}=-72$

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{d}=\vec{a} \times \vec{b}$. જો $\vec{c}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{a} \cdot \vec{c}=|\vec{c}|$,$|\vec{c}-2\vec{a}|^2=8$ અને $\vec{d}$ તથા $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોય,તો $|10-3\vec{b} \cdot \vec{c}|+|\vec{d} \times \vec{c}|^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.