समीकरण $\int_x^1(1-t) dt = \frac{1}{2}$ को संतुष्ट करने वाला $x$ का धनात्मक मान है

एक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,मान लीजिए $[x]$ उस सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है और $\{x\}=x-[x]$ है। $n$ का वह सबसे छोटा संभव पूर्णांक मान क्या है जिसके लिए $\int_1^n [x]\{x\} dx$ का मान $2013$ से अधिक हो?

यदि $\int_a^b x^3 dx = 0$ और $\int_a^b x^2 dx = \frac{2}{3}$ है,तो $a$ और $b$ क्रमशः क्या हैं?

$\int_{1}^{x} \frac{\log(x^2)}{x} \, dx = $

$\int_{\pi / 4}^{\pi / 3} \frac{\cos x-\sin x}{\sin 2 x} d x=$

$\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$ को संतुष्ट करने वाले सतत फलनों $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ की संख्या क्या है?