प्रथम $10$ अभाज्य संख्याओं के समुच्चय से सभी प्रविष्टियों वाले यादृच्छिक रूप से चुने गए $2 \times 2$ आव्यूह के अव्युत्क्रमणीय (singular) होने की प्रायिकता क्या है?

यदि $A$ और $B$ एक यादृच्छिक प्रयोग की स्वतंत्र घटनाएँ हैं, जैसे कि $P(A \cap B)=\frac{1}{6}$ और $P(\bar{A} \cap \bar{B})=\frac{1}{3}$, तो $P(A)$ का मान ज्ञात कीजिए। (यहाँ, $\bar{E}$ घटना $E$ की पूरक घटना है)

यदि दो संख्याएँ $p$ और $q$ समुच्चय $\{1, 2, 3, 4\}$ से एक-एक करके,प्रतिस्थापन के साथ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं,तो $p^2 > 4q$ प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

दो व्यक्ति $A$ और $B$ बारी-बारी से एक निष्पक्ष छह-तरफा पासा फेंकते हैं,इस शर्त के साथ कि जो व्यक्ति पहले $3$ फेंकता है वह खेल जीत जाता है। यदि $A$ खेल शुरू करता है,तो $A$ और $B$ के खेल जीतने की प्रायिकताएं क्रमशः क्या हैं?

$A$ के सच बोलने की प्रायिकता $75 \%$ है और $B$ के सच बोलने की प्रायिकता $80 \%$ है। जब उनसे किसी तथ्य पर बोलने के लिए कहा जाता है,तो उनके एक-दूसरे का खंडन करने की प्रायिकता क्या है?

तीन स्वतंत्र घटनाओं $E_1, E_2$ और $E_3$ में से,केवल $E_1$ के घटित होने की प्रायिकता $\alpha$ है,केवल $E_2$ के घटित होने की प्रायिकता $\beta$ है और केवल $E_3$ के घटित होने की प्रायिकता $\gamma$ है। मान लीजिए कि प्रायिकता $p$ कि $E_1, E_2$ या $E_3$ में से कोई भी घटना घटित न हो,समीकरणों $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ और $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ को संतुष्ट करती है। सभी दी गई प्रायिकताएं अंतराल $(0, 1)$ में स्थित मानी जाती हैं। तो $\frac{\text{Probability of occurrence of } E_1}{\text{Probability of occurrence of } E_3} = $