$\overrightarrow{a} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 5 \hat{k}$ નો $\overrightarrow{b} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધો.

ધારો કે $\vec{u}, \vec{v}$ અને $\vec{w}$ એવા સદિશો છે કે જેથી $|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|=0$ થાય. જો $|\vec{u}|=3$,$|\vec{v}|=4$ અને $|\vec{w}|=5$ હોય,તો $|\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}|$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $\theta$ એ સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો:

ધારો કે $\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$,$\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}$ અને $\beta \hat{i} + (1 + \beta) \hat{j}$ એ ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો છે. જો $OA$ અને $OB$ વચ્ચેના લઘુકોણના દ્વિભાજકથી $C$ નું અંતર $\frac{3}{\sqrt{2}}$ હોય,તો $\beta$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો શોધો.

ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એ શરત $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ નું પાલન કરે છે. જો $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=4$ અને $|\vec{c}|=2$ હોય,તો $\mu=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ ની કિંમત શોધો.

જો $i, j, k$ એકમ ઓર્થોનોર્મલ સદિશો હોય અને $a$ એક સદિશ હોય,જો $a \times r = j$ હોય,તો $a \cdot r$ શું થાય?