દ્વિઘાત સમીકરણો $x^2-6x+a=0$ અને $x^2-cx+6=0$ નું એક બીજ સામાન્ય છે. જો પ્રથમ અને બીજા સમીકરણના અન્ય બીજ પૂર્ણાંક હોય અને તેમનો ગુણોત્તર $4:3$ હોય,તો તેમનું સામાન્ય બીજ શોધો.

ધારો કે $a, b, c, p, q$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારો કે $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^2+2px+q=0$ ના બીજ છે અને $\alpha, \frac{1}{\beta}$ એ સમીકરણ $ax^2+2bx+c=0$ ના બીજ છે,જ્યાં $\beta^2 \notin \{-1, 0, 1\}$.
$\text{વિધાન}-1$: $(p^2-q)(b^2-ac) \geq 0$ અને
$\text{વિધાન}-2$: $b \neq pa$ અથવા $c \neq qa$.

જો સમીકરણો $x^2+ax+b=0$ અને $x^2+bx+a=0$ $(a \neq b)$ નું એક સામાન્ય બીજ હોય,તો $a+b$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો સમીકરણો $x^2 + bx + c = 0$ અને $x^2 + cx + b = 0$ $(b \neq c)$ સમાન બીજ ધરાવતા હોય,તો:

ધારો કે $a \ne b, c \ne 0$. જો સમીકરણો $x^2 + ax + bc = 0$ અને $x^2 + bx + ac = 0$ નું એક બીજ સામાન્ય હોય,તો:
વિધાન-$1$: અન્ય બીજોનું સમીકરણ $x^2 + cx + ab = 0$ છે.
વિધાન-$2$: $a + b + c = 0$.

સમીકરણો $5x^2 + 12x + 13 = 0$ અને $ax^2 + bx + c = 0$ એક સામાન્ય બીજ ધરાવે છે,જ્યાં $a, b, c$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુઓ છે,તો $\angle C$ શોધો.