गोले x^2+y^2+z^2+2x-2y-4z-19=0 और समतल x+2y+2 | vedclass

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Question

(B) गोले का समीकरण $x^2+y^2+z^2+2x-2y-4z-19=0$ है। इसे व्यापक समीकरण $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ से तुलना करने पर, हमें $u=1, v=-1, w=-2, d=-19$ प्र

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(B) गोले का समीकरण $x^2+y^2+z^2+2x-2y-4z-19=0$ है। इसे व्यापक समीकरण $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ से तुलना करने पर, हमें $u=1, v=-1, w=-2, d=-19$ प्राप्त होता है। गोले का केंद्र $(-u, -v, -w) = (-1, 1, 2)$ है। गोले की त्रिज्या $R = \sqrt{u^2+v^2+w^2-d} = \sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2-(-19)} = \sqrt{1+1+4+19} = \sqrt{25} = 5$ है। अब, केंद्र $(-1, 1, 2)$ से समतल $x+2y+2z+7=0$ की लंबवत दूरी $p$ है: $p = \frac{|(-1) + 2(1) + 2(2) + 7|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} = \frac{|-1+2+4+7|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$. माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है। गोले के केंद्र, वृत्त के केंद्र और वृत्त की परिधि पर स्थित एक बिंदु द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में, $R^2 = p^2 + r^2$ होता है। $r^2 = R^2 - p^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$. अतः, $r = \sqrt{9} = 3$.

गोले $x^2+y^2+z^2+2x-2y-4z-19=0$ और समतल $x+2y+2z+7=0$ के प्रतिच्छेदन से बनने वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

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