શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક (rank) શોધો.

જો $y = \sin(mx)$ હોય,તો $\left| \begin{array}{ccc} y & y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 & y_5 \\ y_6 & y_7 & y_8 \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય (જ્યાં $y$ ના સબસ્ક્રિપ્ટ વિકલનનો ક્રમ દર્શાવે છે) શું છે?

જો $m \times n$ ક્રમના શ્રેણિક $P$ માં $k$ ક્રમનો અસામાન્ય (non-singular) ઉપશ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય,તો $P$ નો શ્રેણીક $(rank)$ $(\rho)$

ચોરસ શ્રેણિકનો ટ્રેસ (trace) તેના વિકર્ણ ઘટકોના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જો $A$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિક હોય કે જેથી $A$ નો ટ્રેસ $3$ હોય અને $A^3$ નો ટ્રેસ $-18$ હોય,તો $A$ ના નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધો.

નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} a^2 & a & 1 \\ \cos(nx) & \cos(n+1)x & \cos(n+2)x \\ \sin(nx) & \sin(n+1)x & \sin(n+2)x \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય કોનાથી સ્વતંત્ર છે?

જો $f(x) = \begin{vmatrix} 1 + \sin x + \sin 2x + \sin 3x & \frac{3 + \sin 2x}{2} & \frac{-2 + \sin 3x}{3} \\ 3 + 4 \sin x & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} \sin x \\ 1 + \sin x & \frac{1}{2} \sin x & \frac{1}{3} \end{vmatrix}$ હોય, તો $\int_0^{\pi / 2} (f(x) + f^{\prime}(x)) dx =$